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• Sparseint$

Sparseint$-equiv

Basic equivalence relation for sparseint$ structures.

Definitions and Theorems

Function: sparseint$-equiv$inline

(defun sparseint$-equiv$inline (x y)
  (declare (xargs :guard (and (sparseint$-p x)
                              (sparseint$-p y))))
  (equal (sparseint$-fix x)
         (sparseint$-fix y)))

Theorem: sparseint$-equiv-is-an-equivalence

(defthm sparseint$-equiv-is-an-equivalence
  (and (booleanp (sparseint$-equiv x y))
       (sparseint$-equiv x x)
       (implies (sparseint$-equiv x y)
                (sparseint$-equiv y x))
       (implies (and (sparseint$-equiv x y)
                     (sparseint$-equiv y z))
                (sparseint$-equiv x z)))
  :rule-classes (:equivalence))

Theorem: sparseint$-equiv-implies-equal-sparseint$-fix-1

(defthm sparseint$-equiv-implies-equal-sparseint$-fix-1
  (implies (sparseint$-equiv x x-equiv)
           (equal (sparseint$-fix x)
                  (sparseint$-fix x-equiv)))
  :rule-classes (:congruence))

Theorem: sparseint$-fix-under-sparseint$-equiv

(defthm sparseint$-fix-under-sparseint$-equiv
  (sparseint$-equiv (sparseint$-fix x) x)
  :rule-classes (:rewrite :rewrite-quoted-constant))

Theorem: equal-of-sparseint$-fix-1-forward-to-sparseint$-equiv

(defthm equal-of-sparseint$-fix-1-forward-to-sparseint$-equiv
  (implies (equal (sparseint$-fix x) y)
           (sparseint$-equiv x y))
  :rule-classes :forward-chaining)

Theorem: equal-of-sparseint$-fix-2-forward-to-sparseint$-equiv

(defthm equal-of-sparseint$-fix-2-forward-to-sparseint$-equiv
  (implies (equal x (sparseint$-fix y))
           (sparseint$-equiv x y))
  :rule-classes :forward-chaining)

Theorem: sparseint$-equiv-of-sparseint$-fix-1-forward

(defthm sparseint$-equiv-of-sparseint$-fix-1-forward
  (implies (sparseint$-equiv (sparseint$-fix x) y)
           (sparseint$-equiv x y))
  :rule-classes :forward-chaining)

Theorem: sparseint$-equiv-of-sparseint$-fix-2-forward

(defthm sparseint$-equiv-of-sparseint$-fix-2-forward
  (implies (sparseint$-equiv x (sparseint$-fix y))
           (sparseint$-equiv x y))
  :rule-classes :forward-chaining)